Question

6．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．

Answer 1

分析 利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．

解答 解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．
∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．
∴∠ADE=∠B．
又∠AED公用，
∴△ADE∽△DBE．
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，即$\frac{6}{AB+3}$=$\frac{3}{6}$，解得AB=9．
由DE∥AC，∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BA}{AE}$，∴$\frac{BC}{2}=\frac{9}{3}$，解得BC=6．
∵DA切圆O于点A，∴AD²=DC•DB=2×（2+6）=16，
解得AD=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了圆的弦切角定理与平行线的性质、切线长定理、三角形相似的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．