Question

如图，已知△PAD是边长为2的等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，其中四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点M为PB中点，N点在PC上，且CN=3PN．
（1）求证：PB⊥面ADM；
（2）求三棱锥N-ADM的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AD中点为Q，连结PQ，BQ．由已知得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形，可证AD⊥面PQB，又PB?面PQB，可得PB⊥AD．又PB⊥AM，AM∩AD=A，即可证PB⊥面ADM．
（2）取PC中点为E，连结ME，则ME∥BC．又BC∥AD，所以ME∥AD，故A，D，E，M四点共面，又CN=3PN，所以N为PE中点，由三棱锥体积公式即可得解．

解答： 解：（1）取AD中点为Q，连结PQ，BQ．由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形，
所以有AD⊥PQ，AD⊥BQ，又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB．
又PB?面PQB，
∴PB⊥AD．
又PA=AB，PM=BM，所以有PB⊥AM，又AM∩AD=A，
∴PB⊥面ADM．（6分）
（2）取PC中点为E，连结ME，则ME∥BC．
又BC∥AD，所以ME∥AD，故A，D，E，M四点共面，
又CN=3PN，所以N为PE中点，
∴V_N-ADM=

1

2

V_P-ADM=

1

2

V_M-PAD=

1

4

V_B-PAD=

1

4

×

1

3

×

3

4

×4×

3

=

1

4

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．