Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P满足

PA

•

PB

=y²-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）已知直线y=x+

1

4

与（1）所求曲线交于A、B两点，求弦长AB及△OAB的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）把向量数量积转化为坐标表示即可得出动点P的轨迹方程；
（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式求得弦长，求出O到直线AB的距离，再代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）A（0，-2），B（0，4），
∵动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化为x²=2y．
∴动点P的轨迹方程为x²=2y；
（2）联立

y=x+ 1 4 x2=2y

，得2x²-4x-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=2，x1x2=-

1

2

，
∴|AB|=

1+1

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

4-4×(- 1 2 )

=2

3

．
原点O到直线4x-4y+1=0的距离为

|1|

42+(-4)2

=

1

4 2

=

2

8

．
∴S△OAB=

1

2

×2

3

×

2

8

=

6

8

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了弦长公式的应用，关键是利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．