Question

若sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，且0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由同角三角函数的基本关系可得cos（

3π

4

+α）和sin（

π

4

-β），进而由诱导公式和和差角的公式可得sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+α）-（

π

4

-β）]=-cos（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-sin（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β），代值计算可得．

解答： 解：∵0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，∴

3π

4

＜

3π

4

+α＜π，-

π

2

＜

π

4

-β＜0，
又sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，
∴cos（

3π

4

+α）=-

1-sin2( 3π 4 +α)

=-

12

13

，
∴sin（

π

4

-β）=-

1-cos2( π 4 -α)

=-

4

5

，
∴sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+α）-（

π

4

-β）]
=-cos（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-sin（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β）
=-(-

12

13

)×

3

5

-

5

13

×(-

4

5

)=

56

65

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及同角三角函数的基本关系和诱导公式，属中档题．