Question

2．平行四边形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，|$\overrightarrow{AE}$|=2，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$=8．

Answer 1

分析 设对角线AC、BD相交于O点，根据平行四边形的性质与向量加法法则，得到$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}$），代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$，展开后即可求得答案．

解答 解：如图，
设对角线AC、BD相交于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}=2（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}）$，
因此，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}）$=2 ${\overrightarrow{AE}}^{2}+2\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EO}$，
∵|$\overrightarrow{AE}$|=2，$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{EO}$，
∴${\overrightarrow{AE}}^{2}=4$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EO}=0$，
此可得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}=8$．
故答案为：8．

点评 本题在平行四边形中求向量的数量积，着重考查了平行四边形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．