Question

12．已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$；②函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），则$f（\frac{3}{2}）$，f（2），f（3）从小到大的关系是（　　）

• A． $f（\frac{3}{2}）＜f（2）＜f（3）$
• B． $f（3）＜f（2）＜f（\frac{3}{2}）$
• C． $f（3）＜f（\frac{3}{2}）＜f（2）$
• D． $f（\frac{3}{2}）＜f（3）＜f（2）$

Answer 1

分析 根据函数y=f（x）满足的三个条件，求出f（x）具有的性质．即可判断$f（\frac{3}{2}）$，f（2），f（3）的小大关系．

解答 解：函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，可得f（x）是周期为2的函数；
函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，可得f（-x+1）=f（x+1），
可得函数f（x）的一条对称轴为1；
对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），
可知函数f（x）在x∈[0，1]上是减函数，
因此：$f（\frac{3}{2}）$=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），f（2）=f（0），f（3）=f（1），
∵函数f（x）在x∈[0，1]上是减函数，
∴f（1）＜f（$\frac{1}{2}$）＜（0），即$f（3）＜f（\frac{3}{2}）＜f（2）$．
故选C．

点评 本题考查了函数的周期的计算．对称轴和单调性综合性质的运用．属于中档题．