Question

17．已知函数f（x）的定义域为R，且在R上恒有f'（x）＞2，若f（1）=2，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-2x，则F′（x）=f′（x）-2，由对任意x∈R总有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）-2＞0，所以F（x）=f（x）-2x在R上是增函数，由此能够求出结果．

解答 解：设F（x）=f（x）-2x，
则F′（x）=f′（x）-2，
∵对任意x∈R总有f′（x）＞2，
∴F′（x）=f′（x）-2＞0，
∴F（x）=f（x）-2x在R上递增，
∵f（1）=2，
∴F（1）=f（1）-2×1=0，
∵f（x）＞2x，
∴F（x）=f（x）-2x＞0，
∴x＞1．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．