Question

抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则P的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，再由外接圆的面积求出外接圆的半径，由外接圆圆心在OF的垂直平分线上求出外接圆圆心的横坐标，则有

p

4

-(-

p

2

)=R=6，由此求得p的值．

解答： 解：抛物线y²=2px的焦点F（

p

2

，0），准线L：x=-

p

2

，
设△OFM的外心为Q，半径为R，
∴面积S=πR²=36π，则R²=36，
∴R=6，
而点Q在线段OF的垂直平分线上，
xQ=

p

4

，而圆Q与抛物线的准线x=-

p

2

相切，
则有

p

4

-(-

p

2

)=R=6，即

3p

4

=6，p=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，训练了数学转化思想方法，是基础题．