Question

18．若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足log_ax+log_ay=3，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 先由方程log_ax+log_ay=3解出y，转化为函数的值域问题求解即可．

解答 解：∵log_ax+log_ay=3，
∴log_axy=3，
即xy=a³，得y=$\frac{{a}^{3}}{x}$，
则函数y=f（x）=$\frac{{a}^{3}}{x}$，在[a，2a]上单调递减，
∴y∈[$\frac{1}{2}{a}^{2}$，a²]，
故$\frac{1}{2}$a²≥a，
解得a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，根据对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．