题目内容

13．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn=$\frac{{S}_{n}}{n}$，则（　　）
A．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差也为d
B．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为2d
C．数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d
D．数列{an-bn}是等差数列，{an-bn}的公差为$\frac{d}{2}$

分析 证明bn是等差数列．求出公差，然后依次对个选项判断即可

解答 解：设等差数列{an}的公差为d，${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
bn=$\frac{{S}_{n}}{n}$=${a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$．
bn-bn-1═${a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$-${a}_{1}-\frac{n-2}{2}d$=$\frac{d}{2}$（常数）．
故得bn的公差为$\frac{d}{2}$，∴A，B不对．
数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d+$\frac{d}{2}$=$\frac{3}{2}d$，∴C不对．
数列{an-bn}是等差数列，{an-bn}的公差为d-$\frac{d}{2}$=$\frac{d}{2}$，∴D对．
故选D

点评 本题考查了等差数列的定义证明和判断．属于基础题．

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