Question

15．已知直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-1=0$，曲线C的极坐标方程为ρ=4．
（1）将曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）若直线l与曲线交于A，B两点，求线段AB 的长．

Answer 1

分析 （1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x²+y²求出直线以及曲线C的普通方程即可；（2）根据点到直线的距离公式求出AB求出弦心距，从而求出弦长即可．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x²+y²，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-1=0$
曲线C的直角坐标方程为x²+y²=16（4分）
（2）由（1）得：圆心（0，0）到直线的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}×0+0-1}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{1}{2}$，
∴AB的长|AB|=$2\sqrt{{R^2}-{d^2}}=2\sqrt{16-\frac{1}{4}}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$（10分）

点评 本题考查了求曲线的普通方程，考查点到直线的距离公式，是一道中档题．