Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-1
（1）求证数列{a_n-1}是等比数列
 （2）设b_n=n•（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-1，变形为：a_n+1-1=2（a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）证明：∵a_n+1=2a_n-1，变形为：a_n+1-1=2（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=1+2^n-1．
（2）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，②
由①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．