Question

4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为$\sqrt{3}$，动点P在对角线BD₁上，过点P作垂直于BD₁的平面α，平面α截正方体的表面得到一个多边形，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，当$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{5}{2}}]$时，函数y=f（x）的值域为（　　）

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]
• C． [$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，4$\sqrt{6}$]
• D． [$\sqrt{6}$，4$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 分三种情况讨论f（x）的变换情况，利用相似三角形得出f（x）的值域．

解答 解：作平面ACB₁和平面A₁C₁D，则BD₁⊥平面AB₁C，BD₁⊥平面A₁DC₁，
设B到平面ACB₁的距离为d，则V${\;}_{B-A{B}_{1}C}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{6}$）²×d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}$）²×$\sqrt{3}$，解得d=1，
①当$x∈[{\frac{1}{3}，1}]$时，截面多边形是三角形EFG，
由△EFG∽△AB₁C得△EFG的周长为3$\sqrt{6}$x，∴3$\sqrt{6}$x∈$[{\sqrt{6}，3\sqrt{6}}]$；
②当x∈（1，2）时，截面多边形是六边形HIJKLM，
设$\frac{HI}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=λ，则$\frac{IJ}{{B}_{1}C}$=$\frac{{C}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=1-λ，
∴HI+IJ=$\sqrt{6}$，
∴截面六边形的周长为$3\sqrt{6}$；
③当$x∈[{2，\frac{5}{2}}]$时，截面多边形是三角形NQR，
由①可知截面三角形周长范围为$[{\frac{{3\sqrt{6}}}{2}，3\sqrt{6}}]$；
∴当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$]时，f（x）的值域为[$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]．
故选B．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，属于中档题．