Question

已知f（x）=1-x+lnx，g（x）=mx-1（m∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）若数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，当m=2时a_n+1=f（a_n）+g（a_n）+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：证明题,导数的综合应用

分析：（1）先求导数f′（x），再令它大于0，解得增区间，令小于0得减区间，要注意定义域；
（2）方法一、构造h（x）=f（x）-g（x），并求导数，对m讨论，分m≤-1，m＞-1求出极大值也即最大值，令它不大于0，求出m的范围；
方法二、应用参数分离，再构造函数h（x），并求导，得到单调区间，求出最大值，只要m不小于最大值即可；
（3）方法一、应用数学归纳法证明，注意步骤，第三步的证明必须用假设即第二步；
方法二、应用数列的递推证明，得到a_n+1+1≤2（a_n+1），再往前一个一个地推即可．

解答： 解：（1）求导f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，由f′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴函数y=f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
（2）方法一、令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-（1+m）x+2则h′(x)=

1

x

-(m+1)
若m+1≤0时，h'（x）＞0，h（x）在定义域上是增函数，
则h（1）=-（1+m）+2＞0，f（x）≤g（x）不恒成立．
若m+1＞0时，由h'（x）=0得x=

1

1+m

当x∈(0，

1

1+m

)时，h′（x）＞0，h（x）在(0，

1

1+m

)上是增函数；
当x∈(

1

1+m

，+∞)时，h′（x）＜0，h（x）在(

1

1+m

，+∞)上是减函数．
∴h（x）在（0，+∞）上的最大值为h(

1

1+m

)=1-ln(1+m)≤0，解得m≥e-1
∴当m≥e-1时f（x）≤g（x）恒成立；
（2）方法二、由 f（x）≤g（x）恒成立得：m≥

lnx-x+2

x

恒成立．
令h(x)=

lnx-x+2

x

，
则h′(x)=-

lnx+1

x2

，由h′（x）=0得x=

1

e

∴h（x）在(0，

1

e

)单调递增，在(

1

e

，+∞)单调递减
∴h(x)max=h(

1

e

)=e-1，故m≥e-1；
（3）方法一、由题意，正项数列{a_n}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．
用数学归纳法证明.an≤2n-1，n∈N^*．
1）当n=1时，a1=1≤21-1，不等式成立；
2）假设n=k时，ak≤2k-1，那么，当n=k+1时，
由（1）知{a_n}，即有不等式a₁=1．
于是   a₂a₁=2(ak+1)-1≤2•2k-1=2k+1-1，成立．
由（1）、（2）知an≤2n-1，n∈N^*，成立，
（3）方法二、由（1）知{a_n}，即有不等式a₁=1．
于是   a₂a₁=2（a_k+1）-1
∴an+1+1≤2(an+1)，即an+1≤2(an-1+1)≤…≤2n-1(a1+1)=2n
∴an≤2n-1，n∈N^*．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，求函数的单调区间，求极值和最值，同时考查数列不等式的证明，以及利用数学归纳法和数列的递推方法证明，是一道综合题．