Question

如图，已知四边形MNOP是一个矩形，MN=

3

+1，MP=

3

，点C是边MN上的一定点，且MC=1，点A，B分别是线段MP和线段NO上的动点，三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

2a+b

c

=-

cosB

cosC

．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式变形后，利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）设∠MCA=θ，则∠NCB=

π

3

-θ，由∠MCP=

π

3

，∠NCO=

π

4

得到θ的范围，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将表示出的a，b，sinC的值代入，整理后根据正弦函数的值域即可确定出面积的范围．

解答： 解：（1）由

2a+b

c

=-

cosB

cosC

得：2acosC+bcosC+ccosB=0，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
∴2sinAcosC+sin（B+C）=0，
∵sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
又0＜C＜π，
∴C=

2π

3

；
（2）设∠MCA=θ，则∠NCB=

π

3

-θ，由∠MCP=

π

3

，∠NCO=

π

4

得：

0≤θ≤ π 3 0≤ π 3 -θ≤ π 4

，
解得：

π

12

≤θ≤

π

3

，
又S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

1

cosθ

×

3

cos( π 3 -θ)

×

3

2

=

3

4

•

1

1 2 cos2θ+ 3 2 sinθcosθ

=

3

2

•

1

sin(2θ+ π 6 )+ 1 2

，
∵

π

3

≤2θ+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2θ+

π

6

）≤1，即1≤

3

2

•

1

sin(2θ+ π 6 )+ 1 2

≤

3

2

，
则△ABC的面积的取值范围是[1，

3

2

]．

点评：此题考查了正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．