Question

16．如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两处岛屿的距离为20$\sqrt{6}$海里．

Answer 1

分析 分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．

解答 解：连接AB，
由题意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，
∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin30°}=\frac{40}{sin45°}$，∴AD=20$\sqrt{2}$，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$CD=40$\sqrt{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得AB=$\sqrt{800+3200-2×20\sqrt{2}×40\sqrt{2}×cos60°}$=20$\sqrt{6}$．
故答案为：$20\sqrt{6}$．

点评 本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．