Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n（n+1），b_n是a_n与a_n+1的等差中项．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）设c_n=

1

(2n-1)bn

，数列{c_n}的前n项和为T_n，若满足不等式b_n+λ＜T_n 的正整数n有且仅有两个，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）先由数列{a_n}的前n项和S_n求a_n，然后利用等差中项求b_n；
（Ⅱ）将b_n=n+

1

2

代入c_n求出c_n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，相邻项相消求出T_n，然后代入b_n+λ＜T_n 构造了函数f（n）=T_n-b_n在（0，+∞）且n∈N^*上是减函数，利用函数解题即可．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n；故a_n=n．
又b_n 是a_n 与 a_n+1的等差中项，所以b_n=

an+an+1

2

，得b_n=n+

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
所以T_n=1-

1

2n+1

．                           
设f（n）=T_n-b_n=1-

1

2n+1

-(n+

1

2

)=1-(n+

1

2

+

1 2

n+ 1 2

)，则f（n）在（0，+∞）且n∈N^*上是减函数．
因为满足不等式b_n+λ＜T_n  的正整数有且仅有两个，所以应满足

b2+λ＜T2 b3+λ≥T3

解得-

37

14

≤λ＜-

17

10

．

点评：本题综合了数列，不等式以及函数的相关知识解题，难点在于构造函数f（n），利用函数性质解题；突破口是采取的思路是通性通法，顺着思路向下解题即可．