Question

已知函数f（x）=

nx

x+m

的值域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（2）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜

2x2

x-1

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过分离常数的方法将原函数变成f（x）=n-

nm

x+m

，所以f（x）≠n，因为已知f（x）≠1，所以n=1，所以f（x）=

x

x+m

，在根据f（2）=2便可求出m=-1，所以f（x）的解析式便求得为f（x）=

x

x-1

；
（2）带入f（x）便可得到不等式：

x

x-1

＜

2x2

x-1

，所以这时需讨论x-1＞0，和x-1＜0两种情况，这样不等式两边同乘以x-1即可将分式不等式变成整式不等式并求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=

n(x+m)-nm

x+m

=n-

nm

x+m

，∴f（x）≠n，由已知的f（x）值域知f（x）≠1；
∴n=1，f（x）=

x

x+m

，又f（2）=2，所以：

2

2+m

=2，∴m=-1；
∴f（x）=

x

x-1

；
（2）解

x

x-1

＜

2x2

x-1

：
若x＞1，由该不等式得x＜2x²，解得x＞

1

2

，或x＜0，∴x＞1；
若x＜1，x＞2x²，解得0＜x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

；
∴原不等式的解为(0，

1

2

)∪(1，+∞)．

点评：考查函数值域的概念，以及分离常数法求值域，不等式两边同乘以一个式子需讨论式子的符号．