题目内容
中央电视台综艺频道推出的大型综艺栏目《星光大道》分为周赛、月赛和年度总决赛三个轮次，通过淘汰方式依次决出周冠军、月冠军和年度总冠军．已知某选手通过周赛、月赛、年赛的概率分别是
，
，
，且各轮次通过与否相互独立．
（Ⅰ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的ξ，设“函数f（x）=3sin
π（x∈R）是奇函数”为事件D，求事件D发生的概率．
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅰ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的ξ，设“函数f（x）=3sin
| x+ξ |
| 2 |
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）ξ可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）为偶函数，当ξ=2时，f（x）为奇函数，当ξ=3时，f（x）为偶函数，由此能求出事件D发生的概率．
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）为偶函数，当ξ=2时，f（x）为奇函数，当ξ=3时，f（x）为偶函数，由此能求出事件D发生的概率．
解答：
（Ⅰ）ξ可能取值为1，2，3．（2分）
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，则
P（ξ=1）=P（
）=1-
=
，
P（ξ=2）=P（A
）=P（A）P（
）=
×（1-
）=
，
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=
×
=
，（5分）
ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=1×
+2×
+3×
=
．（7分）
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）=3sin（
x+
）=3cos
x，∴f（x）为偶函数，
当ξ=2时，f（x）=3sin（
x+π）=-3sin
x，∴f（x）为奇函数，
当ξ=3时，f（x）=3sin（
x+
）=-3cos
x，∴f（x）为偶函数，
∴事件D发生的概率是
．（12分）
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，则
P（ξ=1）=P（
. |
| A |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=2）=P（A
. |
| B |
. |
| B |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）=3sin（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
当ξ=2时，f（x）=3sin（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
当ξ=3时，f（x）=3sin（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴事件D发生的概率是
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=（2，3），
=（-2，x），若
在
方向上的投影等于-
，则实数x的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 5 |
A、
| ||
| B、1 | ||
C、1或
| ||
| D、2 |
一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V=（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|