Question

已知函数f（x）=x³+x，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m²+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）求得得f′（x）=3x²+1＞0，可得函数f（x）=x³+x是R上的增函数．
（3）由f（m²+1）+f（2m-3）＜0，可得f（m²+1）＜f（3-2m），结合函数的单调性可得m²+1＜3-2m，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x³+x的定义域为R，关于原点对称，且满足f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）=x³+x，可得f′（x）=3x²+1＞0，故函数f（x）=x³+x是R上的增函数．
（3）f（m²+1）+f（2m-3）＜0，可得f（m²+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），
∴m²+1＜3-2m，求得-1-

3

＜m＜-1+

3

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用函数的单调性解一元二次不等式，属于基础题．