Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）在已知的数列递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后即可得到数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，公比为

1

2

的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）将an=

3

2

•(

1

2

)n-1代入2a_n+1+S_n=3，求得Sn=3-3•(

1

2

)n，进一步得到S_2n，代入

S2n

Sn

后由

18

17

＜1+(

1

2

)n＜

8

7

得

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

，求解指数不等式可得正整数n的值，则答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a_n+S_n-1=3（n≥2），
两式相减得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，即an+1=

1

2

an(n≥2)．
又a1=

3

2

，a2=

3-a1

2

=

3

4

符合上式，
∴数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，公比为

1

2

的等比数列，
则an=

3

2

•(

1

2

)n-1；
（Ⅱ）将an=

3

2

•(

1

2

)n-1代入2a_n+1+S_n=3，得Sn=3-3•(

1

2

)n，
故S2n=3-3•(

1

2

)2n=3-3•[(

1

2

)n]2．
∴

S2n

Sn

=

3-3[( 1 2 )n]2

3-3•( 1 2 )2

=1+(

1

2

)n．
故由

18

17

＜1+(

1

2

)n＜

8

7

得

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

．
又n为正整数，∴n=3或n=4．
∴满足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和为7．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了指数不等式的解法，是中档题．