Question

已知抛物线y=ax²+c交x轴于A、B两点，且AB=5，交y轴于点C（0，

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）．
（1）求抛物线的解析式
（2）若点D为抛物线在x轴上方的任意一点，求tan∠DAB+tan∠DBA为一定值；
（3）若点D（-1.5，m）是抛物线y=ax²+c上一点．
①判断△ABD的形状并加以证明．
②若M是线段AD上以动点（不与A、D重合），N是线段AB上一点，设AN=t，t为何值时，线段AD上的点M总存在两个不同的位置使∠BMN=∠BDA

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据y=ax²+c交y轴于C（0，

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），可得c=

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，再根据对称轴为y轴，AB=5，可得B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），再根据待定系数法可求抛物线的解析式；     
（2）设D（x，-

3

4

x²+

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），过D作DE⊥AB于E点．根据正切函数可得tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值．
（3）①将D（-15，m）代入函数的表达式中中，可得D点坐标，再根据勾股定理得到BD=5=AB，根据等腰三角形的判断即可得到△ABD是等腰三角形．
②设AM=x，则DM=

10

-x，根据相似三角形的判定和性质可得关于x的方程，根据根的判别式和实际意义可得t的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=ax²+c交y轴于C（0，

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），
∴c=

75

16

，
∵对称轴为y轴，AB=5，
∴B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），
将B（

5

2

，0）代入y=ax²+

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，
解得a=-

3

4

．
∴y=-

3

4

x²+

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16

；        

（2）设D（x，-

3

4

x²+

75

16

），
如图，过D作DE⊥AB于E点．
∴tan∠DAB+tan∠DBA
=

DE

AE

+

DE

BE

=

- 3 4 x2+ 75 16

t+ 5 2

+

- 3 4 x2+ 75 16

5 2 -t

=

15

4

，
∴tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值．

（3）①△ABD是等腰三角形．理由如下：
将D（-1.5，m）代入y=-

3

4

x²+

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中，
可得m=3，
∴D（-

3

2

，3），
∴DE=3，BE=

5

2

，
∴BD=

DE2+BE2

=5=AB，
∴△ABD是等腰三角形．
②由①可得，AD=

10

，
设AM=x，则DM=

10

-x，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠BMN=∠BDA，
∴∠BMD+∠AMN=∠BMD+∠DBM，
∴∠AMN=∠DBM，
∴△AMN∽△DBM，
∵AN=t，
∴

AM

DB

=

AN

DM

，
∴

x

5

=

t

10 -x

，
∴x²-

10

x-5t=0，
∵存在两个不同的位置，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴△=10-4×5t＞0，
解得t＜

1

2

．
∴当0＜t＜

1

2

时，总存在两个不同的位置，使∠BMN=∠BDA．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，正切函数，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根的判别式，综合性较强，有一定的难度．