Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作斜率为

3

的直线，该直线交抛物线于A、B两点，交其准线L于点C，若|AF|=6，则此抛物线的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A的坐标是（x_A，y_A），由焦半径公式求出x_A，再由点斜式方程求出直线方程，把x_A代入直线方程求出y_A，把点A的坐标代入抛物线方程化简后，求出p的值即可．

解答： 解：设A的坐标是（x_A，y_A），
因为|AF|=6，所以x_A+

p

2

=6，则x_A=6-

p

2

，①
由题意得焦点F的坐标是（

p

2

，0），
所以过F点且斜率为

3

的直线方程是y=

3

（x-

p

2

），
将①代入上式得，y_A=

3

（6-

p

2

-

p

2

）=

3

（6-p），
则A的坐标是（6-

p

2

，

3

（6-p）），代入y²=2px得，
p²-12p+27=0，解得p=3或p=9，
所以此抛物线的方程为y²=6x或y²=18x，
故答案为：y²=6x或y²=18x．

点评：本题考查抛物线的方程、焦半径公式，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．