Question

2．已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则y═$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$）（cos²θ+sin²θ），由此利用基本不等式能求出y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$的最小值．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sin²θ，cos²θ∈（0，1），
∴y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$）（cos²θ+sin²θ）
=1+9+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}+\frac{9si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$
≥10+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}•\frac{9si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$
=16．
当且仅当$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{9si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$时，取等号，
∴y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{9}{co{s}^{2}θ}$的最小值为16．
故选：D．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式和三角函数性质的合理运用．