Question

16．师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔10辆就抽取一辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]统计后得到如图的频率分布直方图．
（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[80，90）的车辆中做任意抽取3辆，求车速在[80，85）和[85，90）内都有车辆的概率；
（3）若从车速在[90，100）的车辆中任意抽取3辆，求车速在[90，95）的车辆数的数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据抽样方法的特征，得出是系统抽样方法，根据频率分布直方图，求出样本数据的众数和中位数的估计值；
（2）求出车速在[80，90）的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80，85）内的有2辆，在[85，90）内的有1辆的概率，车速在[80，85）内的有1辆，在[85，90）内的有2辆的概率，概率相加即得结果；
（3）从车速在[70，80）的车辆中任意抽取3辆，车速在[75，80）的车辆数为X，求出X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样．
这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5　（3分）
（2）车速在[80，90）的车辆共有（0.2+0.3）×20=10辆，
车速在[80，85），[85，90）内的车辆分别有4辆和6辆；
记从车速在[80，90）的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80，85）内的有2辆，在[85，90）内的有1辆为事件A，车速在[80，85）内的有1辆，在[85，90）内的有2辆为事件B，
则$P（A）+P（B）═\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}+\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{5}$．　（7分）
（3）车速在[90，100）的车辆共有7辆，车速在[90，95）和[95，100）的车辆分别有5辆和2辆，若从车速在[90，100）的车辆中任意抽取3辆，设车速在[90，95）的车辆数为X，则X的可能取值为1、2、3.$P（x=1）=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{1}{7}，P（x=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{4}{7}$，$P（x=3）=\frac{C_5^2C_2^0}{C_7^3}=\frac{2}{7}$．
故分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

∴车速在[90，95）的车辆数的数学期望为$E（X）=1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}$=$\frac{15}{7}$．（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列的应用问题，是中档题．