Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-12n，则数列{|a_n|}的前n项和T_n=

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：S_n=n²-12n⇒a_n=2n-13；分1≤n≤6与n≥7且n∈N讨论，可得T_n的解析式．

解答： 解：∵S_n=n²-12n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-12n）-（n-1）²+12（n-1）=2n-13，
当n=1时，a₁=-11，也符合上式，
∴a_n=2n-13．
由a_n≥0得：n≥6.5，
∴数列{a_n}的前6项均为负值，从第7项开始值为正．
∴当1≤n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=-S_n=-n²+12n；
当n≥7且n∈N时，T_n=-a₁-a₂-…-a₆+a₇+a₈+…+a_n
=a₁+a₂+…+a₆+a₇+a₈+…+a_n-2S₆
=n²-12n-2（36-72）
=n²-12n+72．
∴T_n=

12n-n2，1≤n≤6 n2-12n+72，n≥7

，n∈N⁺．
故答案为：

12n-n2，1≤n≤6 n2-12n+72，n≥7

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点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的综合应用，考查转化思想与分类讨论思想，属于中档题．