Question

已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-

1

2

，

1

2

]⊆A，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过讨论x的范围，得出函数的表达式，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出a的范围．

解答： 解：当x≥0时，f（x）=ax²+2x=a（x+

1

a

）²-

1

a

，
当x＜0时，g（x）=-ax²+2x=-a（x-

1

a

）²+

1

a

，
当a=0时，A是空集，舍去，
当a＞0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=-

1

a

，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，
二次函数g（x）开口向下，对称轴x=

1

a

，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，
当a＜0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，-

1

a

]上是增函数，在（

1

a

，+∞）上是减函数，
二次函数g（x）开口向上，在（-∞，

1

a

]上是减函数，在（

1

a

，0）上是增函数，
∴a＜0时，A非空集，
对于任意的x属于[-

1

2

，

1

2

]，f（x+a）＜f（x）成立．
当x≤0时，g（x+a）＜g（x）=g（

2

a

-x）≤0，由g（x）区间单调性知，
x+a＜x且x+a＞

2

a

-x，解得，-1＜a＜0
当x＞0时，

1

2

＜-

1

a

，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＜f（x），
∴a的取值范围为，-1＜a＜0，
故答案为：（-1，0）．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．