Question

已知实数a∈[1，2]，b∈[1，3]，若存在a、b使得不等式|a-b|-|5a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：求实数x的取值范围，实际上就是解关于x的不等式，化简一下原不等式，不等式左边提取|a|，并两边同除以|a|，得到|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|≥|x-1|+|x-2|，根据题意，只要|x-1|+|x-2|小于等于它左边式子的最大值即可，所以根据条件求左边式子的最大值即可．

解答： 解：a∈[1，2]，b∈[1，3]可得

1

2

≤

b

a

≤3；
由|a-b|-|5a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）可得|a|(|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|)≥|a|（|x-1|+|x-2|）；
∴|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|≥|x-1|+|x-2|；
存在a、b使得不等式成立，只需|x-1|+|x-2|小于或等于|

b

a

-1|-|2

b

a

-5|的最大值，设

b

a

=t，

1

2

≤t≤3，
则：|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|=|t-1|-|2t-5|=

-t+4 5 2 ≤t≤3 3t-6 1＜t＜ 5 2 t-4 1 2 ≤t≤1

，可得其最大值为

3

2

；
解不等式|x-1|+|x-2|≤

3

2

，当x≥2可得2≤x≤

9

4

；当1＜x＜2可得恒成立；当x＜1可得

3

4

≤x＜1，综上可得解集为[

3

4

，

9

4

]

点评：考查含绝对值不等式的解法，求含绝对值函数的最值求法，正确理解存在a，b的含义．