Question

设函数f（x）=2sin（ωx+

π

3

），ω＞0，x∈R且以3π为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知

π

2

＞β＞0＞α＞-

π

2

，f（

π

4

+

3

2

α）=

8

5

，f（

3

2

β-

π

2

）=

10

13

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）利用周期求出ω，即可求f（x）的解析式；
（2）利用cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，即可求cos（α-β）的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+

π

3

），ω＞0，x∈R且以3π为最小正周期，
∴

2π

ω

=3π，
∴ω=

2

3

，…（2分）
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

3

）．…（4分）
（2）由f（

π

4

+

3

2

α）=2sin[

2

3

（

π

4

+

3

2

α）+

π

3

]=2cosα=

8

5

，得cosα=

4

5

．…（6分）
∵0＞α＞-

π

2

，∴sinα=-

3

5

．…（7分）
由f（

3

2

β-

π

2

）═2sin[

2

3

（

3

2

β-

π

2

）+

π

3

]=2sinβ=

10

13

，得sinβ=

5

13

．…（9分）
∵

π

2

＞β＞0，∴cosβ=

12

13

．…（10分）
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（12分）

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，两角和差的三角公式的应用，要特别注意三角函数值的符号．