Question

如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）
（1）求出a，b满足的关系式；
（2）问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，求出a，b满足的关系式；
（2）先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求．

解答： 解：（1）由题意可得

2a+4b+2ab=60 a＞0，b＞0

，即

a+2b+ab=30 a＞0，b＞0

------------------------（6分）
（2）因为该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，所以当ab最大时，该杂质的质量分数最小
由均值不等式得a+2b≥2

a•2b

（当且仅当a=2b时取等号）
所以a+2b+ab≥ab+2

2ab

，
即ab+2

2ab

≤30（当且仅当a=2b时取等号）---------（8分）
即(

ab

+5

2

)(

ab

-3

2

)≤0，
因为

ab

＞0，所以

ab

≤3

2

，所以ab≤18-------------（10分）
所以当且仅当

a=2b ab=18

即

a=6(m) b=3(m)

时，ab取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小---------（12分）

点评：此题考查了基本不等式的应用，考查了利用函数知识求解实际问题的知识，解题的关键是理解题意，根据题意构建函数关系，利用基本不等式的知识求最值．