Question

已知函数f（x）=2f′（1）lnx+x²+2f（1）x+

1

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-x²+（

5

2

-a）x-

a-1

x

-

1

4

，证明：当a≥1时．对任意的x∈[0，1），g（1-x）≤g（1+x）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据f（x）的解析式可求出f（1），f′（1），从而求出f（x）；
（Ⅱ）求出g（x），令p（x）=g（1+x）-g（1-x），因为p（0）=0，所以想法证明p（x）在[0，1）上是增函数，这样便能得到p（x）≥p（0）=0，所以g（1+x）≥g（1-x），所以g（1-x）≤g（1+x）．所以通过求p′（x），并说明p′（x）≥0，从而证出p（x）是增函数，即证出g（1-x）≤g（1+x）．

解答： 解：（Ⅰ）f（1）=1+2f（1）+

1

4

，∴f（1）=-

5

4

；
f′(x)=

2f′(1)

x

+2x-

5

2

，∴f′(1)=2f′(1)+2-

5

2

，∴f′（1）=

1

2

；
∴f(x)=lnx+x2-

5

2

x+

1

4

；
（Ⅱ）g（x）=lnx-ax-

a-1

x

；
令p（x）=g（1+x）-g（1-x），则：
p（x）=ln（1+x）-a（1+x）-

a-1

1+x

-[ln(1-x)-a(1-x)-

a-1

1-x

]=ln（1+x）-ln（1-x）-2ax-（a-1）[

1

1+x

-

1

1-x

]，∴p′(x)=

1

1+x

+

1

1-x

-2a+(a-1)[

1

(1+x)2

+

1

(1-x)2

]=

2

1-x2

-2a+(a-1)[

1

(1+x)2

+

1

(1-x)2

]
下面证明p′（x）≥0，即证：

2

1-x2

-2a+(a-1)[

1

(1+x)2

+

1

(1-x)2

]≥0；
即证：

1

1-x2

-a+(a-1)[

1+x2

(1+x)2(1-x)2

]≥0；
∵x∈[0，1），由

1

1-x2

≥1，即证1-a+(a-1)[

1+x2

(1+x)2(1-x)2

]≥0；
又a-1≥0，只需证-1+

1+x2

(1+x)2(1-x)2

≥0；
即证1+x²≥（1+x）²（1-x）²，即证x⁴-3x²≤0；
∵x∈[0，1），∴x²（x²-3）≤0成立，∴x⁴-3x²≤0成立；
即p（x）在[0，1）上单调递增，∴p（x）_min=p（0）=0；
∴p（x）≥0，g（1+x）≥g（1-x），∴g（1-x）≤g（1+x）．

点评：本题考查求函数解析式，构造函数的方法，通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，函数的最小值，分析法证明问题的方法．