Question

11．设函数f（x）=（x+a）e^x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与直线ex-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行的条件，求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率k，求出函数f（x）的导函数f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；
（2）将（1）中的a代入原式，求出f（x）的导函数f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）的单调增区间，令f′（x）＜0，得出y=f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与直线ex-y=0平行，
直线ex-y=0的斜率为e，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为k=e．
∵函数f（x）=（x+a）e^x的导函数为f′（x）=e^x（1+x+a），
令x=1，∴f′（1）=k=e，即e（2+a）=e，
解得a=-1；
（2）f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=e^x•x，
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0，
∴y=f（x）的单调减区间为（-∞，0），单调增区间为（0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了运算能力，属于中档题．