Question

2．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2x-a，x≥1}\\{{e^x}，x≤-1}\end{array}}$的图象上存在关于y轴的对称点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$-1）
• B． （-∞，2-$\frac{1}{e}$）
• C． [$\frac{1}{e}$-1，+∞）
• D． [2-$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 作出当x≥1时，f（x）=2x-a，关于y轴对称的函数，根据f（x）图象上存在关于y轴的对称点，则等价为e^x=-2x-a在x∈（-∞，-1]上有解，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：当x≥1时，f（x）=2x-a，
则此时函数f（x）=2x-a关于y轴对称的函数为y=-2x-a，x≤-1，
若f（x）图象上存在关于y轴的对称点，
则等价为e^x=-2x-a在x∈（-∞，-1]上有解，
即y=e^x+2x+a在（-∞，-1]上有零点，
因为y=e^x+2x+a为增函数，
所以e^-1+2×（-1）+a≥0，
解得$a≥2-\frac{1}{e}$．
故选：D

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据图象关于y轴对称求出对称的函数，将条件进行转化是解决本题的关键．