Question

若x＞4，求证：2^x＞x²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：欲证2^x＞x²，只需证xln2＞2lnx．构造函数f（x）=xln2-2lnx，利用导数判断函数的单调性，继而得以证明

解答： 证明：欲证2^x＞x²，只需证xln2＞2lnx．
令f（x）=xln2-2lnx       
则f′（x）=ln2-

2

x

，
∵x＞4，
∴f′（4）=ln2-

1

2

=

2ln2-1

2

=

1

2

（ln4-lne）＞0，
∴f′（x）＞0
∴函数在（4，+∞）上单调递增           
∴f（x）＞f（4）=4ln2-2ln4=0，
即xln2＞2lnx，
∴2^x＞x²．

点评：本题主要考查了导数的应用，关键是构造函数，根据函数单调性解决，属于中档题