题目内容
若关于x的不等式sin2x-（a+1）sinx+1≥0对一切x∈[0，
]恒成立，则a∈ ．
| π |
| 2 |
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：设t=sinx，利用换元法结合不等式恒成立进行等价转化即可得到结论．
解答：
解：设t=sinx，∵x∈[0，
]，∴t∈[0，1]，
则不等式等价为t2-（a+1）t+1≥0在t∈[0，1]恒成立，
即t2+1≥（a+1）t在t∈[0，1]恒成立，
当t=0时，不等式等价为1≥0，成立，
当t≠0时，不等式等价为t+
≥（a+1），
∵y=t+
≥2
=2，当且仅当t=1时取等号，
∴a+1≤2，解得a≤1，
故答案为：（-∞，1]．
| π |
| 2 |
则不等式等价为t2-（a+1）t+1≥0在t∈[0，1]恒成立，
即t2+1≥（a+1）t在t∈[0，1]恒成立，
当t=0时，不等式等价为1≥0，成立，
当t≠0时，不等式等价为t+
| 1 |
| t |
∵y=t+
| 1 |
| t |
t•
|
∴a+1≤2，解得a≤1，
故答案为：（-∞，1]．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合基本不等式求出函数的最值是解决本题的关键．
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