Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=（2-a）（x-1）-2f（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，

1

2

），g（x）＞0恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x₀，y₀），直线AB的斜率为k．证明k＞f′（x₀）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,对数函数的图像与性质,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时求出g′（x），然后在定义域内解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0，从而得到函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，

1

2

）恒成立，等价于对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，构造函数转化为函数最值解决，利用导数即可求得最值；
（Ⅲ）求出直线AB的斜率为k和f′（x₀），整理后把证明k＞f′（x₀）转化为证明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．构造函数h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），利用导数证明该函数在（1，+∞）上为增函数证得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x-1-2lnx，则g′（x）=1-

2

x

，
由g′（x）＞0，x＞2；g′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故g（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，

1

2

），g（x）＞0恒成立，即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l（x）x=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
则l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），则m′（x）=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上为减函数，
于是m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以l（x）＜l（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值为2-4ln2；
（Ⅲ）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，
则k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
证明k＞f′（x₀）转化为证明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，
即证明ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

＞0，令x=

x1

x2

，（x＞1），得：lnx-

2(x-1)

x+1

＞0
令h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），则h′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

．
∴h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（1）=0．
∴k＞f′（x₀）．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．