Question

已知函数f（x）=ax³+

a2-3

2

x²-ax+2，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-4y+8=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数f′（x），得到f′（1）=-4，从而求出a=-1．（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+（a²-3）x-a．
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-4y+8=0垂直，
所以f′（1）=-4，即f′（1）=a²+2a-3=-4，解得a=-1．
（Ⅱ）f（x）的定义域为R，f′（x）=（ax-1）（3x+a）．
（1）当a=0时，f′（x）=-3x．令f′（x）=0，得x=0．
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

所以f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）．
（2）当a≠0时，令f′（x）=0，得x=

1

a

或x=-

a

3

．
①当a＞0时，

1

a

＞0，-

a

3

＜0，所以-

a

3

＜

1

a

．
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑		↓		↑

所以f（x）的增区间为（-∞，-

a

3

），（

1

a

，+∞），减区间为（-

a

3

，

1

a

），
②当a＜0时，

1

a

＜0，-

a

3

＞0，所以-

a

3

＞

1

a

．
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓		↑		↓

所以f（x）的增区间为（

1

a

，-

a

3

），减区间为（-∞，

1

a

）和（-

a

3

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．