Question

设函数f（x）是定义在R的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²．若对任意x∈[k，k+2]，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，则g（k）=log₂|k|的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）的单调性与奇偶性，结合x∈[k，k+2]时，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，求出k的取值范围，即可求出g（k）的最小值．

解答： 解：∵当x＜0时，f（x）=x²，
∴此时函数f（x）是减函数，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上的减函数；
又对任意x∈[k，k+2]，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，
则x+k≥3x恒成立，
即k≥2x恒成立，
∵x∈[k，k+2]，
∴（2x）_max=2（k+2）=2k+4，
即k≥2k+4，
解得k≤-4，
即实数k的取值范围是（-∞，-4]；
∴g（k）=log₂|k|的最小值是
g（-4）=log₂|-4|=2．
故选：A．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．