题目内容
已知双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，右准线方程为x=
，
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，右准线方程为x=
，列出方程组，求出a，c，可求a，即可求双曲线C的方程；
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x2+y2=1，把y=x+m代入双曲线方程，利用韦达定理，求出AB的中点，代入圆方程，即可求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x2+y2=1，把y=x+m代入双曲线方程，利用韦达定理，求出AB的中点，代入圆方程，即可求m的值．
解答：
解：（1）∵双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，右准线方程为x=
，
∴
，
∴a=1，c=
，
∴b=
∴双曲线C的方程为x2-
=1---------（4分）
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x2+y2=1，
把y=x+m代入双曲线方程得：x2-2mx-m2-2=0，
令A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）
则有：
，
∴x0=
=m，y0=
=
+m=2m，
代入圆方程x2+y2=1中得：m2=
，
∴m=±
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴
|
∴a=1，c=
| 3 |
∴b=
| c2-a2 |
∴双曲线C的方程为x2-
| y2 |
| 2 |
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x2+y2=1，
把y=x+m代入双曲线方程得：x2-2mx-m2-2=0，
令A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）
则有：
|
∴x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
代入圆方程x2+y2=1中得：m2=
| 1 |
| 5 |
∴m=±
| ||
| 5 |
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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