Question

已知函数φ（x）=1n（x+1）+mx，函数f（x）=

1+1nx

x

(x≥1)．
（Ⅰ）若x=0时，函数φ（x）取得极大值，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若规定n!=1•2•3…（n-1）•n，求证：2ln[（n+1）!]＞1n（n+1）+n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导φ′（x）=

1

x+1

+m，代入求实数m的值，并检验；
（Ⅱ）不等式f（x）≥

k

x+1

可化为k≤

(x+1)(1+lnx)

x

；令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，化恒成立问题为最值问题；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

＞1-

2

x

；令x=n（n+1），则lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）φ′（x）=

1

x+1

+m，
由φ′（0）=1+m=0解得，m=-1；
经检验，函数φ（x）在x=0处取得极大值．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

k

x+1

可化为
k≤

(x+1)(1+lnx)

x

；
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
则g′（x）=

x-lnx

x2

；
令h（x）=x-lnx；
则h′（x）=1-

1

x

；
故h（x）在[1，+∞）上递增，
则h（x）≥h（1）=1＞0；
则g（x）在[1，+∞）上递增，
故g（x）≥g（1）=2；
故k≤2；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）≥

2

x+1

恒成立，
即lnx≥

x-1

x+1

＞1-

2

x

；
令x=n（n+1），则lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；
则ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，…，lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；
叠加得，2lnn!+ln（n+1）＞n-2；
2ln[（n+1）!]＞1n（n+1）+n-2（n∈N^*）．

点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的证明及恒成立问题，属于难题．