Question

已知f（x）=x²，过点C₁（1，0）作x轴的垂线l₁交函数f（x）的图象于点A₁，以A₁为切点作函数f（x）图象的切线交x轴于C₂，再过C₂作x轴的垂线l₂交函数f（x）的图象于点A₂，…，依此类推得点A_n，记A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设点B_n（a_n，n-1），b_n=

OAn

•

OBn

（其中O为坐标原点），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知f（x）=x²图象上的点A_n（a_n，an2）的切线交x轴于C_n+1（a_n+1，0），切线为y-an2=2an(x-an)，将C_n+1（a_n+1，0）代入方程，得{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，从而an=(

1

2

)n-1．
（2）b_n=

OAn

•

OBn

=an2+(n-1)an2=nan2=n（

1

4

）^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：由已知f（x）=x²图象上的点A_n（a_n，an2）的切线交x轴于C_n+1（a_n+1，0），
∵kAn=2a_n，∴切线为y-an2=2an(x-an)，
将C_n+1（a_n+1，0）代入方程，整理得an+1=

1

2

an，
∴a₁=1，∴{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴an=(

1

2

)n-1．
（2）解：∵An(an，an2)，B_n（a_n，n-1），
∴b_n=

OAn

•

OBn

=an2+(n-1)an2=nan2=n（

1

4

）^n-1，
S_n=1•(

1

4

)0+2•(

1

4

)+3•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n-1，

1

4

Sn=1•(

1

4

)+2•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n，
相减，得

3

4

Sn=1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n
=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n•（

1

4

）ⁿ
=

4

3

-

4

3

(

1

4

)n-n(

1

4

)n，
∴S_n=

16

9

-

3n+4

9•4n-1

．

点评：本题考查数列为等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．