Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），关于数列{a_n}有下列四个命题：
①若a_n+1=a_n（n∈N^*），则{a_n}既是等差数列又是等比数列；
②若S_n=a_n²+b_n（a，b∈R），则{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列；
④若{a_n}是等差数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n（n∈N^*）也成等差数列；
其中正确的命题是

 

（填上正确的序号）．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：①只有a_n+1=a_n≠0时，{a_n}既是等差数列又是等比数列；
②由S_n=a_n²+b_n（a，b∈R），不能判断{a_n}是等差数列；
③由S_n=1-（-1）ⁿ，利用前n项和与等比数列的定义，推出{a_n}是等比数列；
④{a_n}是等差数列时，根据前n项和与等差数列的定义，得出S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差数．

解答： 解：对于①，当a_n+1=a_n≠0时，{a_n}既是等差数列又是等比数列，否则不成立，∴①错误；
对于②，如a_n=n²，b_n=1时，S_n=a_n²+b_n=n⁴+1，{a_n}不是等差数列，∴②错误；
对于③，当S_n=1-（-1）ⁿ时，S_n+1=1-（-1）ⁿ⁺¹，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2•（-1）ⁿ，
a_n=2•（-1）^n-1，
∴

an+1

an

=-1为常数，
∴{a_n}是等比数列，③正确；
对于④，当{a_n}是等差数列时，S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d，
S_2n-S_n=na_n+1+

1

2

n（n-1）d，
S_3n-S_2n=na_2n+1+

1

2

n（n-1）d，
∴（S_3n-S_2n）-（S_2n-S_n）=n（a_2n+1-a_n+1）=n²d，
（S_2n-S_n）-S_n=n（a_n+1-a₁）=n²d，
∴（S_3n-S_2n）-（S_2n-S_n）=（S_2n-S_n）-S_n，
即S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差数，∴④正确；
综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了等差与等比数列的定义与性质的应用问题，是综合性题目．