Question

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．
（Ⅰ）证明：AC²=AD•AE；
（Ⅱ）证明：FG∥AC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．
（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．

解答： 证明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AD•AE=AC²．
（Ⅱ）由（Ⅱ）有

AD

AC

=

AC

AE

，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE，
∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴FG∥AC．

点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相似等知识．