题目内容
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=| 5 |
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．
（2）分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值，从而可得正弦值．
（2）分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值，从而可得正弦值．
解答：
（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，
∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1，
∵A1O⊥平面ABC，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥OE，
∴OE⊥平面BB1C1C，
又AO=
=1，AA1=
得AE=
=
．…4′
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）
由
=
，得点E得坐标是(
，0，
)．
设平面A1B1C的法向量是
=(x，y，z)，
由
得
令y=1，得x=2，z=-1，
=(2，1，-1)
∴cos?
，
＞=
=
∴平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值为
．…12′．
（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1，
∵A1O⊥平面ABC，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥OE，
∴OE⊥平面BB1C1C，
又AO=
| AB2-BO2 |
| 5 |
得AE=
| AO2 |
| AA1 |
| ||
| 5 |
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）
由
| AE |
| 1 |
| 5 |
| AA1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
设平面A1B1C的法向量是
| m |
由
|
|
令y=1，得x=2，z=-1，
| m |
∴cos?
| m |
| OE |
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
∴平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，建立空间直角坐标系利用向量法是关键．
练习册系列答案
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