Question

已知圆锥的体积是12πcm³，其侧面展开图是中心角为216°的扇形．
（1）求圆锥侧面积；
（2）若一个圆柱下底面在圆锥的底面上，上底面与圆锥面相切，求该圆柱侧面积最大值．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设出圆锥的底面半径以及弧长，通过圆锥的体积是12πcm³，其侧面展开图是中心角为216°列出关系式，求出底面半径以及弧长，即可求解圆锥侧面积．
（2）设内接圆柱的底面半径为r′，高为h′，根据三角形相似找出h′与r′的关系，然后表示出内接圆柱侧面积，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等号成立的条件．

解答： 解：（1）设圆锥的底面半径为r，弧长为l，
∵圆锥的体积是12πcm³，其侧面展开图是中心角为216°的扇形，
∴

1

3

πr2

l2-r2

=12π…①，

2πr

l

=216×

π

180

…②，
解①②可得：r=3，l=5，圆锥的高为4，
圆锥侧面积：πrl=15π．（cm²）．
（2）设内接圆柱的底面半径为r′，高为h′，如右图，
∵△CAB∽△CED，
∴

ED

AB

=

CD

CB

，即

h′

4

=

3-r′

3

，则h′=

4

3

（3-r′），
∴内接圆柱侧面积S=2πr′h′=2πr′×

4

3

（3-r′）=

8π

3

r′（3-r′）≤

8π

3

（

r′+3-r′

2

）2=6π，
当且仅当r′=3-r′，即r′=

3

2

时取等号，
∴内接圆柱侧面积最大值是6π．

点评：本题主要考查了圆锥的内接圆柱的侧面积，以及基本不等式在最值中的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．