Question

新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”．到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”．政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数	分组	频数	频率	光盘族占本组比例
第1组	[25，30）	50	0.05	30%
第2组	[30，35）	100	0.10	30%
第3组	[35，40）	150	0.15	40%
第4组	[40，45）	200	0.20	50%
第5组	[45，50）	a	b	65%
第6组	[50，55）	200	0.20	60%

（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55）岁的人群中“光盘族”所占比例；
（2）从年龄段在[35，40）与[40，45）的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队．
（i）已知选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段在[40，45）中的概率；
（ii）求2名领队的年龄之和的期望值．（每个年龄段以中间值计算）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（1）根据第一组人数为50，频率为0.05，可得样本数为

50

0.05

=1000，由此求得第五组的人数，可得第五组的频率b，求出样本中，“光盘族”的人数，可得社区[25，55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例．
（2）（i）用分层抽样方法求出年龄段在[35，40）中抽取的人数和年龄段在[40，45）抽取的人数，由此利用条件概率公式能求出选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，另一人来自年龄段[40，45）中的概率．
（ii）设2名领队的年龄之和为X，则X的所有可能取值为75，80，85，分虽求出P（X=75），P（X=80），P（X=85），由此能求出2名领队的年龄之和的期望值．

解答： 解：（1）由题意知第一组人数为50，频率为0.05，
∴n=

50

0.05

=1000，
b=1-（0.20+0.20+0.10+0.05）=0.30，
∴a=1000×0.3=300．
∴样本中的“光盘族”人数为：
50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520，
∴样本中“光盘族”所点比例为

520

1000

=52%．
（2）（i）年龄段在[35，40）中的“光盘族”人数为150×40%=60人，
年龄在[40，45）中的“光盘族”人数为200×50%=100人，
采用分层抽样方法抽取8人，其中年龄段在[35，40）中抽取

8

160

×60=3人，
年龄段在[40，45）中抽取

8

160

×100=5人，
设A表示“一人来自年龄段在[35，40）中”，B表示“另一人来自年龄段在[40，45）中”，
P（B/A）=

C 1 5

C 1 7

=

5

7

．
∴选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，另一人来自年龄段[40，45）中的概率为

5

7

．
（ii）设2名领队的年龄之和为X，则X的所有可能取值为75，80，85，
P（X=75）=

C 2 3

C 2 8

=

3

28

，
P（X=80）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
P（X=85）=

C 2 5

C 2 8

=

5

14

，
∴EX=75×

3

28

+80×

15

28

+85×

5

14

=81.25，
∴2名领队的年龄之和的期望值为81.25．

点评：本题考查统计表的用法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意条件概率和分层抽样的合理运用．