Question

k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x²+3y²=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线y=kx+2代入椭圆2x²+3y²=6，消去y，可得（2+3k²）x²+12kx+6=0，利用△＞0、△=0、△＜0，可得结论．

解答： 解：直线y=kx+2代入椭圆2x²+3y²=6，消去y，可得（2+3k²）x²+12kx+6=0，
∴△=144k²-24（2+3k²）=72k²-48，
①直线y=kx+2和椭圆2x²+3y²=6有两个交点，∴72k²-48＞0，∴k＞

6

3

或k＜-

6

3

；
②直线y=kx+2和椭圆2x²+3y²=6有一个交点，∴72k²-48=0，∴k=±

6

3

；
③直线y=kx+2和椭圆2x²+3y²=6没有公共点，∴72k²-48＜0，∴-

6

3

＜k＜

6

3

．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆的交点个数的判断方法，求出△=72k²-48，是解题的关键．