Question

14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$bsinA=acosB．
（1）求B；
（2）求$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4{b}^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件及正弦定理便可得到$\sqrt{3}$sinBsinA=sinAcosB，可以得到tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而得出B；
（2）$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=$\frac{2abcosC}{4{b}^{2}}$=sinAcosC=sinAcos（$\frac{5}{6}$π-A）=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，根据A的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$bsinA=acosB，
∴$\sqrt{3}$sinBsinA=sinAcosB，
∴tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜B＜π；
∴B=$\frac{π}{6}$；
（2）$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=$\frac{2abcosC}{4{b}^{2}}$=sinAcosC=sinAcos（$\frac{5}{6}$π-A）
=sinA（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜A＜$\frac{5}{6}$π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{11}{6}$π，
∴-1≤sin（2A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-$\frac{1}{4}$≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4{b}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数知识的运用，考查运算能力，属于中档题．