Question

6．已知，命题p：?x∈R，x²+ax+2≥0，命题q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意解△=a²-4×1×2≤0可得；
（2）问题转化为a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$的值域，由“对勾函数”的单调性可得．

解答 解：（1）∵命题p：?x∈R，x²+ax+2≥0为真命题，
∴△=a²-4×1×2≤0，解得-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
∴实数a的取值范围为[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]；
（2）命题q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0为真命题，
∴a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$在x∈[-3，-1]单调递增，在x∈[-1，-$\frac{1}{2}$]单调递减，
∴当x=-1时，a取最大值-2，当x=-3时a=-$\frac{10}{3}$，当x=-$\frac{1}{2}$时a=-$\frac{5}{2}$，
∴实数a的取值范围为：[-$\frac{10}{3}$，-2]

点评 本题考查带量词的命题，涉及一元二次方程根的存在性和“对勾函数”的单调性，属基础题．