Question

如图，设α∈（0，π），且α≠

π

2

．当∠xoy=α时，定义平面坐标系xoy为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：

e1

，

e2

分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若

OP

=x

e1

+y

e2

，则记为

OP

=（x，y），那么在以下的结论中，正确的有

 

．（填上所有正确结论的序号）
①设

a

=（m，n）、

b

=（s，t），若

a

=

b

，则m=s，n=t；
②设

a

=（m，n），则|

a

|=

m2+n2

；
③设

a

=（m，n）、

b

=（s，t），若

a

∥

b

，则mt-ns=0；
④设

a

=（m，n）、

b

=（s，t），若

a

⊥

b

，则ms+nt=0；
⑤设

a

=（1，2）、

b

=（2，1），若

a

与

b

的夹角

π

3

，则α=

2π

3

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,平面向量及应用

分析：把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．

解答： 解：显然①正确；
|

a

|=|m

e1

+n

e2

|=

m2+n2+2mncosα

，∵α≠≠

π

2

，∴②错误；
由

a

∥

b

得

b

=λ

a

，∴s=λm，t=λn，∴mt-ns=0，故③正确；
∵

a

•

b

=（m

e1

+n

e2

）•（s

e1

+t

e2

）=ms+nt+（mt+ns）cosα≠ms+nt，∴④错误；
根据夹角公式得4+5

e1

•

e2

=（5+4

e1

•

e2

）cos

π

3

，故

e1

•

e2

=-

1

2

，即cosα=-

1

2

，则α=

2π

3

⑤正确
所以正确的是①、③、⑤．

点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属基础题．